Analysis 1 - Le Chi Ngoc - 10

+2tg 3 x

3

+ tgx + C

ii) If m and n are both even and positive, then lower the order

sin 2 x = (1 - cos2x)/2 cos 2 x = (1 + cos2x)/2 sinxcosx = sin2x/2

For example: sin 4 xdx

= 1 (1  cos 2x) 2 dx = 1 x - sin2x + 1

cos 2 2xdx

2 2 2

= 1 x - sin2x + 1 (1  cos 4x)dx = 3 x - sin2x +1 sin4x + C

2 4 4 16

d) Product form

cosax cos bxdx ;  sin ax cos bxdx ;  sin ax sin bxdx

Use the formula to convert product to sum

C. Exercises

1. Calculate the integrals

a)   1

(1  x )

x  x  1

2

2

 1 x

x 2

x dx

b) dx

c) dx



xx

x

1  x 2

2. Calculate the integrals



a)dxb)

1  sin x

x 3 dx x 8  2

c)xdxd)dxe) sin x dx

1  x 4

x(1  x)

6 x dx

1  3 x



cos 3 x

f) (1  x)dx



g) cos 1 dx

2 4

x x 2

h) xdx

i) time 5 x dx

j) sin x d x

k) 

l)  sin 5 xdx

x 4  9

cos 3 x

m) dxn) sin x d x

o) sin x dx p) sin x dx

q) x dx

r) dx

1  e 2x

cos 2x

x 2 1

x 2 1

s) cot g 2 x d x t) dx

x

cos 4 x



u)dx sin 5 x

cos 6 x

3 cos 2 x

7

v) sin x d x

1  x 6

3 sin x

2

3

x) cos xdx

x



y)xdx x 8  1

3. Calculate the following integrals

2

a) dxb) sin x d x

c) 

x 2 dx

d) 

x 5 dx

e) cos x dx

f) dx

5

1  e x

dx

cos 6 x

x  4

3 1  x 3

1  sin x

sin x

1  x 2

sin 2xdx

2  cos 2 x

cos x 3 cos x

sin 3 x dx

1  cos 4 x

g) x 2  x  2

h)   x 5  2 

dx i) 

dx

sin 2 x

j) 

k) 



l) xdxm) ln xdx

n) x 2

9  x 6 dx o) 

arcsine xdx

p) (1  x )dx

1  ln x

(x 2  1) 3 / 2

4  ln 2x

q) dx x

x



r)dx 3x 2  2x  1

S)x  ln xdx x

x

3 x

t) x 3

1  x 2

1  x 2 dx



2  cos 2x

u) cos xdx



v) xdx x) dx y) cos 5 x

sin x d x

z)  sin 5 x cos 5 xdx

(x  2)(x  5) 5  4x  x 2



4. Calculate the integrals

3 sin x  cos x

a) (sin x  cos x)dx

b) x 3

4  x 2 dx

3 arc cot gx



c) 1  x 2 dx

d) sin( a  b ln x)dx x

sin x cos xdx

1  x dx

dx 1  x  x 2

(1  x 2) 3

e) sin 4 x  cos 4 x

f) ln 1  x 1  x 2

g) sin 2 x  2 cos 2 x

h) dx

i) dxj) sin x cos xdx

k) 

x 3  2x

dx

l) dx

gx

x

x ln x ln(ln x)

sin 4 x  cos 4 x

(x 2  1) 2

(x 2  1)(x 2  2)



m)2xdx

x 4  3x 2  2

n)xdx x 4  2x 2  1

o)xdxp)



(x  1)(x  1) 2

arc

dx 1  x





q)dx r) sin 4 x cos 5 xdx

(x  a) 2 (x  b) 2

s) 

x 3 dx

t) tgx  1  ln tgx dx cos 2 x

(a 2  x 2 ) a 2  x 2



u) sin x cos xdxv) dxx) xdx

a 2 sin 2 x  b 2 cos 2 x

(x  1)(x  2)(x  3) x 2  2x cos  1

5. Calculate the integrals

a) xdxb) dxc) ln 2xdx

d) 

4 1  e x

e 2x dx

1  ex

e) dxg) 

x 2 dx

(1  x) 12

1  e 3x

x ln 4x

(1  x) 100

1  x 2

h) 

x 5 dx

i) dxj) xdxk) 

x 2 dx

(x  1) 10

2x

1  a x

dxe dx

m) n)

1  e x

o) 

x dx 1  x

p) 

x 7 dx

x(x  1)

3 1  3x

(1  x 4 ) 2

q) 

x 5 dx

r) 

x 4 dx (x  1) 4

s) 

x 2 dx

(x  1) 5

(1  x )dx

7

t)

x(1  x 7 )

u) cos xdx

v) (6  x )dx

x) 

e x  1

1  x 2

dx

e x  1

y) x(1  x) 10 dx

e sin x  1

4x  x 2

2

6. Calculate the integrals

e x

(1  x 2) 3

1  x 6

a) dxb) dxc) (x 1)dx

d) 

dx e) xdx

e x 

x(1  car x )x

f) cos 2

xdx

g) x cos

xdx

h) x

2  5xdx

i)dxj)



x 2  2x  5

2x 1

a 3  x 3



dx

x

2x  x 2

x 2 1

3

k) dxl) dx x

m)(x 1)dx

2x  1

x





3

sin x cos x

n) dx

1  cos 2 x

x  2x  3

3 2 10

x  e  x  dx

1  x  x  1



o) 

x  1

dx p) x

(1  5x )

dx q) e

  1 



x 3   dx

r) 

x  1

x  1



s) dx t) x 5 (2  5x 2 ) 2 / 3 dx

u) (x  1)

1  x 2 dx

2x  3

2x  1

1  x 2  (1  x 2 ) 3



v) dxx) xdx

2

7. Calculate the integrals



a)xdx cos 2 x

b) ln xdx

c) 

x 2 dx

d) x sin 3 xdx

e) x 7 e  x 2 dx

f) 

x 2 dx



(1  x 2 ) 3

x2

x

1  x 2

g)  sin(ln x)dx

h) cos 3

xdx

i) arctg

xdx

j) x sin x dx cos 2 x

k) x 3 arctgxdx

l) x cos

xdx

m) x sine

xdx

n)  sin(ln x)dx

o) (x 2  1)e 2x dx

p)  3

2x  1dx​

q) e  x cos 2xdx

r) x arcsin xdx

s) 

car arctgx dx (1  x 2 ) 3 / 2

t) (x  1) 2 e xdx

u) arcsin xdx

(1  x 2) 3



8. Calculate the following integrals.





a)arccos xdx x 2

b) (arcsin x) 2 dx c) arcsin x dx



x 2

d) arctg

xdx

e) ln(sin x) dx sin 2 x

f) x sine

xdx

g) e ax sin bxdx

h) xtg 2 xdx

i)dx x 6 (1  x 2 )

j) e 2x sin 2 xdx

x

k) x arccos 1 dx l) cos 2 ln x d x

m) x 2 arcsin xdx

n) e x  1 sin xdx

o) e 5x cos3xdx

1  x 2

p) x arcsin xdx

q) x arccos xdx



(1  x 2 ) 3 / 2

2

x arctgx

r) dx s)

1  x 2

arctgx

arctgx3x

e dx t) (2x 3)e dx

1  x 2

u) (x 2  1) ln xdx

v)  sin(1  ln x)dx

x)dx y) x 3 ln(x 2  3)dx



(x 2  2x  2) 2

9. Calculate the integrals

a) arcsine

x dx x  1

b) x 2

a 2  x 2 dx

c) x 2 arccos xdx

d) x arccos 1 dx



x

e) (x  x 2 ) sin xdx

f) (1  x 2 ) cos 2xdx

g) 1  sin x e x dx 1  cos x

h) (x 2  1) ln xdx

i) x

1  x 2

arcsin xdx

j) x ln(x 

1  x 2 )



dx

k) ln 2 (x 

1  x 2 )dx

1  x 2

l) x 2 ln(1  x 2 )dx

m) ln(x 

1  x 2 )

dx

n) ln x. xdx

(1  x 2 ) 3 / 2

1  x

1  x 2

10. Calculate the integrals

2

a) x  x

dx

dx

x  1

2n  1

x



x  1

dx b)

x 6  1

c)

x 4  8x

(x 3

d)

 1) 2

dx e)

4

x 6  1

dxf )



x n  1

dx

2



x 4  1



g)dxh)



x 5  x 2

x 4 dx (x  1) 4

i) 

x 2 dx



(x  1) 5

5

x  x

j) dx

x 8  1

k)xdx x 3  1

l)dx x 4  1



m)dx x 3  1

n)dx x 4  1

o)dxp)



(x 4  1) 2

x 8 dx (x 3  1) 3

q) 

x 8 dx (x 4  1) 3

r)dx x 5  x 2

s) 

x 4 dx

(x 10  10) 2

2

x  x

t) dx

x 6  1

u) 

x 2 dx

(x  1) 5

3

(x  2x)

v) dx

(x 2  1) 2

x)dx x 5  x 2



11. Calculate the integrals

a) 

x 4 dx

b) (x  1)dx

c) 

x 5 dx

d) xdxe) (3x  2)dx

x 4  5x 2  4

x 2  x  1

x 6  x 3  2

x 3  3x  2 2x 2  x  3

3

f) (2x  3x)dx

g) dxh) dx

i) (x  1)dx

j) (1  x )dx

7

2

3 2

x 4  x 2  1

x(x 5  2) 2

x 4  x 2  1

x 2  x  1

x(1  x 7 )

4

k) (2x  1) dx

l) (x  2) dx

m) dx n) (x  x )dx

o) 

(x  1) 6

x 2 dx

x 2  6x  10

x(x  1) 2



p)(3x 1)dx

x 2  4x  8

x(x 10  1) 2



q)dx x 2  6x  25

x 2  x  1

(2x  5)dx

2

r)

x 4  5x 2  6

2

s) dx t) dx u) x  5x  9 dx v) dx

(x  2) 2 (x  3) 3

(x 2  2x  5) 2

x 2  5x  6

x 4  13x 2  36

12. Calculate the integrals

a) 

(x 4  1)dx (x  1)(x 4  1)

b) 

(x 2  1)dx (x  1) 3 (x  3)

c) 

(x 3  1)dx

x 3  5x 2  6x

2

(x  1)dx

d)

x 4  x 2  1

x  3x  x

5 3

e) dx

(x 2  1) 2

f)dxg)



(x  2) 2 (x  3) 3

x 2 dx

(x 2  6x  8) 2

2

(3x  x  3)dx

h)

(x  1) 3 (x 2  1)

i) 2xdx

j) dxk) (x  1)dx

l) 

x 2 dx

x 4  3x 2  2



m)xdx

x 4  6x 2  5

x 4  2x 3  2x  1



n)(5x  3)dx x 2  10x  29

5x 2  2x  1

(x  2x  1)dx

2

o)

(x  1)(x 2  1)

x 2  4x  3



p)(5x  1)dx (x  2) 2 (x 2  1)

x  3x  x

5 3

q) dx

(x 2  1) 2

r) 

(x 4  3)dx x(x 8  3x 4  2)

2

2x  4x  3

s) dx

x 4  x 2

t)dx (x 2  1)(x 2  4)



u) dxv) dxx) dx

(x  2) 2 (x  3) 2

(x  1) 2 (x 2  1)

(x 2  1)(x 2  2)

13. Calculate the integrals

a) 

(x 2  2x  6)dx (x  1)(x  2)(x  4)

b)dx x 4  2x 3  2x 2  x

c) 

(2x 2  x  3)dx x 3  3x 2  3x  2



x  3x  5x  7

3 2

d) dx



x 2  2

e) 

x 2 dx



x 3  5x 2  8x  4

f)dx (x  1)(x  2) 2 (x  3) 3





g)dx x(1  x)(1  x  x 2 )

h)dx x 5  x 4  x 3  x 2  x  1

i)dx x(4  x 2 ) 2 (1  x 2 )

j) 

(x 2  1)dx

x 4  x 3  x 2  x  1

k) 

(2x 2  x  3)dx x 3  3x 2  3x  2

l) 

(x 5  x 2  1)dx

x 5  x 4  x 3  x  1



m) (x 3  x)dx

x 6  4x 4  4x 2  1

n) dx o)



(x  1)(x  2) 2 (x  3) 2

(x 2  1)dx



x 4  x 3  x 2  x  1





p)dx x(x  1)(x 2  x  1)

q) 

(x 4  1)dx

x(x 4  5)(x 5  5x  1)

x  3x  5x  7

3 2

r) dx

x 2  2

S)dx (x 2  4x  4)(x 2  4x  5)



14. Calculate the integrals

1  x 2

a) 

x 4 dx

b) dx c) 

x 2 dx

d) dx

e) 3 x  1dx x  1

f) 

x 2 dx

3 1  x 3

x 2  2

3x 2  2

x 3 (1  x)

a 2  x 2 dx

g) xdx

h) dxi) 

j) 

1  xdx

k) dx

4  x 2

4  x 2

(x 2  a 2 ) 3

x x 1  x

l) 

4x  x 2 dx

m) dxn) xdxo) xdx

(1  x 2) 3

1  x 2

1  3 x 2

(1  3x ) 2

4

x

p) dx

q) 

dx r) 3 3x  x 3 dx

1  x 6



x

S)dx

x

3 x 2





t) 

x 3  x 4 dx

u) 

x 2 dx

x 2  2



15. Calculate the integrals

x 3 2  xdx

x  3 2  x

x4

1  x 3

a) 

b) 

xdx

c)x  1  1 dx 1 

d) x

x  1 dx x  1

e)x  1  1dx

x  1

x(1  3 x ) 3

x 3 3 2  x 3



 1

4 x 3 (4  x)

4 x  1

x dx

5

x  1 x 3

1  x dx

1  xx

3 1  x 3

f) g) 

h) dx

i) dx

j) dx

k) 

x 3 dx

1  2x  x 2

l) 

3 1  4

x dx

m) x 2

dx n) 

(x 2  4x)dx

o) x 3 dx

x 2  2x  2



(a  bx 2 ) 3 / 2

3x 2 1  1

p) 

x 3 dx

q)dxr)

1  x 4



3

x 11

x 3 dx

S)dxt)xdx

x 4 (x  1) 3

1  x 2



(1  x 3 )

3x 2 1  1

u) 

x 3 dx

v) 

dx x) 3 ax  x 3 dx

1  3x 4 1

y) x dx z)(x  2)dx x

3 x  2

x  3 x  2

x 2  5x  6

1 



16. Calculate the integrals

x  x 

1  x 2 

3 x  1

x  1

xdx

x 2  1  x

3 1  x

a) 

dx b) 

(x  a)(b  x)dx

c) 

x  1



1  x 2

dx d) 

(x  a)(b  x)

e) dxf)

dx

x

x 3

x 5





g) x 2

a 2  x 2 dx

h)( x 1  2)dx (x  1) 2 